Grafer kan vise seg å være nøkkelen i søket etter den hellige gral for kvantefeilkorreksjon

I februar 2019 møtte JQI-stipendiat Alicia Kollár, som også er assisterende professor i fysikk ved UMD, Adrian Chapman, den gang postdoktor ved University of Sydney, på en kvanteinformasjonskonferanse. Selv om de to kom fra svært forskjellige vitenskapelige bakgrunner, oppdaget de raskt at forskningen deres hadde en overraskende fellestrekk. De delte begge interessen for grafteori, et felt innen matematikk som omhandler poeng og sammenhengene mellom dem.

Chapman fant grafer gjennom arbeidet sitt i kvantefeilkorreksjon– et felt som omhandler å beskytte skjør kvanteinformasjon mot feil i et forsøk på å bygge stadig større kvantedatamaskiner. Han lette etter nye måter å nærme seg et langvarig søk etter den hellige gral for kvantefeilkorreksjon: en måte å kode kvanteinformasjon på som er motstandsdyktig mot feil ved konstruksjon og som ikke krever aktiv korreksjon. Kollár hadde forfulgt nytt arbeid innen grafteori for å beskrive foton-på-en-brikke-eksperimentene hennes, men noen av resultatene hennes viste seg å være den manglende brikken i Chapmans puslespill.

Deres påfølgende samarbeid resulterte i et nytt verktøy som hjelper i søket etter nye kvantefeilkorreksjonssystemer – inkludert den hellige gral med selvkorrigerende kvantefeilkorreksjon. De publiserte nylig funnene sine i tidsskriftet Fysisk gjennomgang X Quantum.

Kvantedatamaskiner er bygd opp av kvantemaskinvare, fundamentalt forskjellig fra våre vanlige, «klassiske» datamaskiner. Storskala kvantedatamaskiner, hvis de ble bygget, ville være i stand til å faktorisere tall som stopper selv nåværende superdatamaskiner. Kanskje viktigst, de ville tillate oss å simulere verden i sin fulle kvantekompleksitet.

Kraftige som de er, er kvantedatamaskiner svært vanskelige å bygge, delvis fordi kvanteinformasjon er svært skjør og utsatt for feil. “Støyen er veldig sterk på kvanteskalaen,” sier Chapman. “Og dette gjør kvantefeilkorreksjon veldig vanskelig.”

For å beskytte skjør kvanteinformasjon – og lage stabile kvantedatamaskiner – må det finnes en måte å rette feil på. Klassisk sett er brute force-måten å beskytte mot feil å gjenta litt informasjon – i stedet for 0, lagre eller sende 000. Så, hvis en feil tilfeldigvis snur en av bitene (si til 010), stemmer fortsatt flertallet sier 0. Med kvanteinformasjon er det litt vanskeligere. For det første ødelegger det å lese ut kvanteinformasjon. Hvis du ser på kvantebitene – kalt qubits – for å sjekke om det har oppstått en feil, ødelegger du informasjonen og kan ikke bruke den i en fremtidig beregning. Så, forskere har måttet komme opp med smarte måter å kode kvanteinformasjon og sjekke for feil uten å forstyrre den underliggende informasjonen.

“Dette er nøkkelen,” sier Kollár. “Hvis du noen gang måler noe direkte om qubiten din, er den borte. Du trenger litt redundans som lar deg fortelle om noe har skjedd uten å vite den underliggende informasjonen.”

Den hellige gral ville være en kvantefeilkorrigerende kode – en oppskrift på hvordan informasjonen er kodet og hvordan man sjekker for feil – der hver ny feil vil kreve mer og mer energi. Så hvis du gjør kvantedatamaskinen kald nok, kan feil dukke opp av og til, men de vil ikke spre seg. Dette kalles selvhelbredelse, liksom selvpleie for kvantedatamaskiner. Det er kvantefeilkorrigerende koder som er kjent for å være selvhelbredende, men de fungerer bare i fire dimensjoner – én mer enn det som finnes i denne verden.

Jakten på en selvhelbredende kvantefeilkorrigerende kode som fungerer i våre jordiske dimensjoner er vanskelig. For å sjekke om en feilkorrigerende kode har denne selvhelbredende egenskapen, er det ikke nok å vite hva koden er. Det er også nødvendig å kjenne til energikostnad av alle de forskjellige typene feil. For mange kvantefeilkorrigerende koder er dette nesten umulig å beregne uten allerede å ha en kvantedatamaskin.

Alle de kvantefeilkorrigerende kodene som er oppdaget så langt kan grovt sorteres i to kategorier. De enklere kalles stabilisatorkoder. De koder en qubit av kvanteinformasjon i flere qubits (som å skrive 0 som 000) og definere operasjoner for å se etter alle mulige feil. Energikostnaden ved feil og nesten all relevant informasjon er enkel å beregne. Dessverre er det teoremer som indikerer at ingen av disse enklere kodene sannsynligvis vil være selvhelbredende i under fire dimensjoner.

Den andre kategorien av koder – de mer kompliserte undersystemkodene – definerer også kodinger og feilkontrolloperasjoner, men noen “feil” får ikke merket av. Det er litt som å ta 0000 og 0001 som begge betyr 0, og ikke bry seg om den siste biten. Dette gjør ofte kontrolloperasjonene raskere å utføre i praksis, men noen av feilkontrollene kan ikke lenger gjøres i hvilken som helst rekkefølge – å måle en kontroll vil endre resultatet av en annen. I motsetning til stabilisatorkoder, er det en kostbar beregningsoppgave å beregne energiene til alle mulige feil for undersystemkoder.

For å smi nye veier mot å finne en selvhelbredende kvantefeilkorrigerende kode, er det viktig å finne måter å beregne ting om disse mer kompliserte delsystemkodene. Og, som det viser seg, grafteori kan hjelpe.

En graf, matematisk sett, er en samling av punkter, kalt noder, med noen par av punkter forbundet med en linje, kalt en kant. De kan tegnes som et stort spindelvev-lignende nettverk.

I den nye artikkelen viste forskerne at noen delsystemkoder kan representeres som en bestemt type graf. Videre er disse spesielle grafene identiske med grafer som representerer en helt annen fysisk setting – en haug med elektroner (eller noen fermioner for den saks skyld) som ikke samhandler med hverandre. I noen konfigurasjoner er det enkelt å finne ut alle energiene til ikke-samvirkende elektroner.

Ved å utnytte denne nye grafbaserte broen mellom ikke-samvirkende elektroner og kvantefeilkorrigerende koder, var forskerne i stand til å beregne energiene til de frie elektronene i den ene innstillingen og kartlegge resultatene tilbake til den opprinnelige feilkorrigeringskoden. De kunne nøyaktig beregne alt de måtte trenge å vite for å finne ut om koden er selvkorrigerende.

“Med en nøyaktig løsbar kode som denne,” sier Kollár, “kan du i prinsippet beregne alt om den. Så det gir en unik mulighet til å forstå hva med koden som styrer hvilke endelige egenskaper.”

Ikke alle delsystemkoder kan tegnes som riktig type graf. Men forskerne utviklet en systematisk måte å se etter koder med grafvennlige egenskaper.

“Jeg hadde et tilsynelatende urelatert rent matematikkprosjekt som studerte grafspektre,” sier Kollár, “og vi innså at de numeriske skriptene jeg hadde for det prosjektet lett kunne modifiseres for å beregne energikostnadene til feil for den typen koder som Adrian og hans samarbeidspartnere hadde sett på.”

De fant minst én delsystemkode hvis energier kunne kartlegges med denne grafbaserte teknikken. De sier dette spesielt kode vil neppe bli brukt i praksis, og det er ikke selvkorrigerende. Likevel representerer den en av de første todimensjonale delsystemkodene hvis hele energilandskapet kan kartlegges. Og den legger til et helt nytt verktøy i søket etter den hellige gral for feilretting.

“Jeg tror vi vet mye mer om å lete etter denne hellige gral enn vi gjorde før,” sier Kollár. “Men det er fortsatt en hellig gral. Det kommer ikke til å være en lett ting å finne – hvis den eksisterer.”

---

---