Infinity er tilbake. Eller rettere sagt, det gikk aldri (noen gang, aldri…) bort. Mens matematikere har god sans for det uendelige som begrep, finner kosmologer og fysikere det mye vanskeligere å forstå det uendelige i naturen, skriver Peter Cameron.
Hver av oss må møte et øyeblikk, ofte ganske tidlig i livet vårt, når vi innser at en kjær, tidligere en fast del av livet vårt, ikke var uendelig, men har forlatt oss, og at vi også en dag må forlate dette plass.
Denne opplevelsen, sannsynligvis like mye som opplevelsen av å se på stjernene og lure på hvor langt de går, former vårt syn på uendeligheten. Og vi ønsker snarest svar på spørsmålene våre. Dette har vært slik siden den tiden, for to og et halvt årtusen siden, da Malunkyaputta stilte tvilen til Buddha og krevde svar: blant dem ønsket han å vite om verden er endelig eller uendelig, og om den er evig eller ikke.
Nylig har vi igjen hørt John Donnes ord som lover oss at evigheten består av
“ingen støy eller stillhet, men én likeverdig musikk;
ingen slutter eller begynnelser, men en evighet som er likeverdig.”
Vanskelig å forestille seg, og sikkert en likeverdig musikk ville snart bli utålelig!
Det er mange tilnærminger til uendelighet gjennom tvillingpilarene til vitenskap og religion, men jeg vil bare begrense min oppmerksomhet her til matematikere og fysikeres synspunkter.
Aristoteles var en av de mest innflytelsesrike greske filosofene. Han mente at vi kunne vurdere “potensiell uendelighet” (vi kan telle gjenstander uten å vite hvor mange flere som kommer), men at en “fullført uendelighet” er tabu. For matematikere var uendelig forbudt i to årtusener etter Aristoteles forbud. Galileo prøvde å takle problemet, og la merke til at et uendelig sett kunne matches med en del av seg selv, men trakk seg til slutt tilbake. Det ble overlatt til Cantor på det nittende århundre å vise oss måten å tenke på uendelighet, som er akseptert av de fleste matematikere nå. Det er uendelig mange tellende tall; ethvert tall du skriver ned er et ubetydelig steg på veien til det uendelige. Så Cantors idé var å forestille seg at vi har en pakke som inneholder alle disse tallene; sett en etikett på den som sier “De naturlige tallene”, og behandle pakken som en enkelt enhet. Hvis du vil studere individuelle tall, kan du bryte opp pakken og ta dem ut for å se på dem. Nå kan du ta en hvilken som helst samling av disse pakkene og pakke dem sammen for å danne en annen enkelt enhet. Dermed er mengden teori født. Cantor undersøkte måter å måle disse settene på, og i dag er settteori det vanligste grunnlaget for matematikk, selv om andre grunnlag har blitt foreslått.
___
Hvis du kaster en mynt 100 ganger, er det ikke umulig (bare svært usannsynlig) at den faller ned hver gang. Men hvis du kunne tenke deg å kaste en mynt uendelig ofte, så er sjansen null for å ikke få hode og haler like ofte
___
En av Cantors oppdagelser er at det ikke er noe største uendelige sett: gitt et sett kan du alltid finne et større. Den minste uendelige mengden er settet med naturlige tall. Det som kommer etterpå er et puslespill som ikke kan løses for øyeblikket. Det kan være de reelle (desimale) tallene, eller kanskje ikke. Vårt nåværende fundament er ikke sterkt nok, og å bygge større teleskoper vil ikke hjelpe med dette spørsmålet. Kanskje vil vi i fremtiden ta i bruk nye grunnlag for matematikk som vil løse spørsmålet. Men foreløpig, siden matematikk er en mental konstruksjon, kan vi bestemme om universet vi spiller i tilfredsstiller “kontinuumshypotesen” eller ikke.
Disse spørsmålene holder settteoretikere våkne om natten; men de fleste matematikere jobber nær bunnen av dette svimlende hierarkiet, med små uendeligheter. For eksempel beviste Euklid at primtallene “fortsetter for alltid”. (Aristoteles ville si: “Uansett hvilken primtall du finner, kan jeg finne en større”; Cantor ville ganske enkelt si “Sammen med primtall er uendelig.” Matematikere (inkludert årets Fields-medaljevinner James Maynard fra Oxford) ser ut til å nærme seg på tvillingprimtallene.Tvillingprimtall er par av primtall, slik som 3 og 5, eller 71 og 73, som bare skiller seg med 2; antagelsen, som ennå ikke er bevist, hevder at det er uendelig mange av dem. Men dette er uendelighetene til de naturlige tallene, den minste uendeligheten.
FORSLAG TIL LESING
Fysikk alene kan ikke svare på de store spørsmålene
Av SabineHossenfelder
Mens Kronecker (en voldsom motstander av Cantors ideer) trodde på 1800-tallet at “Gud skapte de naturlige tallene; resten er menneskets verk”, kan vi nå bygge de naturlige tallene ved å bruke verktøyene til settteori, med utgangspunkt i ingenting ( mer presist det tomme settet).
Matematikere vet imidlertid at det er et stort gap mellom det endelige og det uendelige. Hvis du kaster en mynt 100 ganger, er det ikke umulig (bare svært usannsynlig) at den faller ned hver gang. Men hvis du kunne tenke deg å kaste en mynt uendelig ofte, så er sjansen for å ikke få hode og hale like ofte null. Selvfølgelig kunne du aldri faktisk utføre dette eksperimentet; men matematikk er en konseptuell vitenskap, og vi aksepterer gjerne denne uttalelsen på grunnlag av et strengt bevis.
Uendelighet i fysikk og kosmologi har ikke blitt løst så tilfredsstillende. De to store fysikkteoriene fra det tjuende århundre, generell relativitet (teorien om de veldig store) og kvantemekanikken (teorien om de helt små) har motstått forsøk på å forene dem. Den ene tingen de fleste fysikere kan være enige om er at universet ble til for en begrenset tid siden (omtrent 13,7 milliarder år) – stort, men ikke uendelig.
___
De benekter at det uendelig små kan eksistere i universet, men foreskriver en minimumsskala, i hovedsak den såkalte Planck-skalaen
___
James Webb-romteleskopet har nettopp begynt å vise oss enestående detaljer i universet. I tillegg til gjenstander i nærheten, ser den de fjerneste gjenstandene som noen gang er observert. Fordi lys beveger seg med en begrenset hastighet, er disse også de eldste objektene som er observert, etter å ha blitt dannet nær begynnelsen av universet. Lysets begrensede hastighet setter også grenser for hva vi kan se; hvis et objekt er så langt unna at lyset ikke kunne nå oss hvis det reiste i hele universets tidsalder, så er vi uvitende om dets eksistens. Så Malunkyaputtas spørsmål om universet er endelig eller uendelig er uklart. Men er det evig eller ikke? Det er et reelt spørsmål, og er så langt uavklart.
Det er gjort forsøk på å forene relativitet og kvanteteori. De som for øyeblikket er mest lovende, inntar en veldig radikal holdning til det uendelige. De benekter at det uendelig små kan eksistere i universet, men foreskriver en minimum mulig skala, i hovedsak den såkalte Planck-skalaen.
FORESLÅTT VISNING
Det uendelige puslespillet
Med David Malone, Laura Mersini-Houghton, Peter Cameron, Julian Barbour
En slik løsning ville sette en stopper for Zenos paradoks. Zeno benektet muligheten for bevegelse, siden man for å bevege seg fra A til B først må bevege seg til et punkt C halvveis til B, og før det til et punkt D halvveis fra A til C, og så videre til det uendelige. Hvis rommet ikke er uendelig delelig, kan ikke denne uendelige regressen skje. (Denne løsningen ble allerede grepet av Demokrit og de tidlige greske atomistene.)
Selvfølgelig etterlater dette oss med et konseptuelt problem som ligner det som reises av muligheten for at universitetet er begrenset. I så fall er det åpenbare spørsmålet “Hvis universet har en kant, hva er utenfor det?” Når det gjelder Planck-lengden, vil spørsmålet være “gitt hvilken som helst lengde, uansett hvor liten, hvorfor kan jeg ikke bare ta halvparten av den?”
Kanskje fordi vi har blitt betinget av Zenos paradoks, har vi en tendens til å tenke på at punktene på en linje, som de reelle tallene, er uendelig delbare: mellom to kan vi finne en annen. Men dagens tenkning er at universet ikke er bygget på denne måten.
___
Tiden er imidlertid fortsatt et problem
___
Mer viktig for fysikk, atomisthypotesen kvitter seg også med en annen irriterende forekomst av uendelighet i fysikk. Svarte hull i generell relativitetsteori er punkter i romtid der materietettheten blir uendelig og fysikkens lover brytes sammen. Disse har vært en torn i kjøttet på kosmologer siden deres eksistens først ble forutsagt, siden vi per definisjon ikke kan forstå hva som skjer der. Hvis rommet er diskret, kan vi ikke sette uendelig mange ting uendelig tett sammen, og paradokset unngås. Vi kan fortsatt ha ekstremt høy tetthet; det svarte hullet som nylig ble observert og fotografert i sentrum av vår egen galakse er (i denne teorien) bare et punkt med så høy tetthet at lys ikke kan unnslippe, men ikke trosser vår evne til å forstå det.
Tid er imidlertid fortsatt et problem; dagens teorier kan ikke avgjøre universets endelige skjebne. Ender det med varmedød, et kaldt mørkt univers hvor ingenting skjer? Blir den mystiske «mørke energien» så sterk at den river universet i filler? Eller går ekspansjonen fra Big Bang i revers, slik at universet ender i en Big Crunch?
FORSLAG TIL LESING
Big Bang skjedde ikke
Av Eric J.Lerner
Fysikere på 1800-tallet som utviklet vitenskapen om termodynamikk, observerte at etter hvert som tiden går, blir et komplisert system som universet mer uordnet. (Vi sier at entropien øker.) Det har nylig blitt antydet at dette er opp ned; det er den økende uorden i universet som på en eller annen måte får tiden til å gå. Dette er en del av en bevegelse der de tradisjonelle enhetene rom, tid, materie og energi erstattes av informasjon som universets grunnleggende valuta. Men dette er tidlige dager for slike teorier.
Ingenting av dette betyr noe for oss individuelt. Solen vil utvide seg og svelge jorden lenge før universet når sin ende. Men vi har en umettelig nysgjerrighet etter å vite svaret på Malunkyaputtas spørsmål. Som matematikeren (og optimisten) David Hilbert sa: “Wir müssen wissen, Wir werden wissen” (Vi må vite; vi skal vite.)
Referanser
Apostolos Doxiadis, Logicomix, Bloomsbury, 2009.
Carlo Rovelli, Reality is not what it seems, Riverside Books, 2017.